Del:
Top 10 fascinerende fakta om nummeret Pi
Det mest kendte faktum om pi-normalt afrundet til 3,14159-er, at det repræsenterer forholdet af omkredsen af en cirkel til dens diameter. Pi er også et irrationelt tal, så det er ikke i stand til at blive skrevet som en simpel fraktion. Derfor er pi et uendeligt langt, ikke-gentagende decimaltal, hvilket gør det til et af de mest interessante og mystiske tal, man kender til.
10Første beregning
Den første beregning af pi antages at være blevet opnået af Archimedes of Syracuse omkring 220 f.Kr. Archimedes udledte formlen A = pi r ved at tilnærme et område af en cirkel baseret på området af en regelmæssig polygon indskrevet i cirklen og området af en polygon, inden for hvilken cirklen blev omskåret. De to polygoner gav derfor de øvre og nedre grænser for et cirkelområde, så Archimedes kunne tilnærme, at det manglende stykke puslespil (pi) lå et sted mellem 3 1/7 og 3 10/71.
Den fremtrædende kinesiske matematiker og astronom Zu Chongzi (429-501) beregnede senere pi for at være 355/113, selvom præcis, hvordan han kunne nå denne utroligt præcise måling, forbliver et mysterium, da der ikke er nogen optegnelser over hans arbejde.
9A Cirkelens sande område er uvidende
Johann Heinrich Lambert i det 18. århundrede viste, at pi er irrationel-det kan ikke udtrykkes som en heltal-baseret brøkdel. Rationelle tal kan altid skrives som en brøkdel, hvor både tælleren og nævneren er hele tal. Selvom det kan være fristende at se pi som et simpelt forhold mellem omkreds / diameter (pi = C / D), vil det altid være tilfældet, at hvis diameteren er et helt tal, er omkredsen ikke et helt tal og omvendt.
Pi's irrationalitet betyder, at vi aldrig virkelig kan kende omkredsen (og efterfølgende området) af en cirkel. Dette frustrerende endnu tilsyneladende uundgåelige faktum har fået nogle matematikere til at insistere på, at det er mere præcist at tænke på en cirkel som at have et uendeligt antal små hjørner, i stedet for at tænke på en cirkel som "glat".
8Buffons nåle
Først hentet op for geometriere og matematikere i 1777, er Buffons nåle et af de ældste og mest spændende problemer inden for geometrisk sandsynlighed. Sådan fungerer det.
Hvis du skulle droppe en nål med en længde på et ark papir med linjer adskilt af samme enkelt enheds længde, er sandsynligheden for at nålen krydser en af linjerne på siden direkte relateret til værdien af pi.
Der er to variable involveret i nåledråben: 1) den vinkel, hvor nålen falder, og 2) afstanden fra nålens centrum til den nærmeste linje. Vinklen kan variere fra 0 til 180 grader og måles mod en linje parallelt med linjerne på papiret.
Det viser sig sandsynligheden for, at nålen lander, så den skærer en linje, er nøjagtigt 2 / pi, eller omkring 64 procent. Det betyder, at pi kunne beregnes teoretisk ved hjælp af denne teknik, hvis man havde tilstrækkelig tålmodighed til at gennemgå tilstrækkelige forsøg, selv om eksperimentet tilsyneladende ikke har noget at gøre med cirkler eller endda afrundede kanter for den sags skyld.
Det kan være lidt svært at forestille sig, så eksperimentér med fænomenet selv her.
7Pi og båndproblemet
Forestil dig at tage et bånd og pakke det rundt om Jorden. (Lad os antage for enkelhedens skyld, at Jorden er en perfekt kugle med en omkreds på 24.900 miles.) Prøv nu at bestemme den nødvendige længde af et bånd, der kunne omgå jorden på en afstand på en tomme over overfladen. Hvis du instinktivt tror, at det andet bånd skulle være betydeligt længere end det første, ville du ikke være alene. Du ville dog være forkert. Faktisk vil det andet bånd øges i længden kun med 2pi eller ca. 6,28 tommer.
Sådan bryder denne hovedskraber ned: Igennem antages det, at Jorden er en perfekt kugle, kan det tænkes som en kæmpe cirkel med en omkreds på 24.900 miles ved ækvator. Dette betyder, at radiusen ville være 24.900 / 2pi eller ca. 3.963 miles. Nu vil det tilføjede andet bånd svæve en tomme over jordens overflade have en radius en tomme længere end jordens, hvilket fører til ligningen C = 2 Pi (r + 1), hvilket svarer til C = 2 Pi (r ) + 2 Pi. Herfra kan vi se, at omkredsen af det andet bånd øges med 2pi. Faktisk, uanset hvad den oprindelige radius er (hvad enten det er jordens eller en basketball), vil en stigning på en radius med en tomme altid medføre en stigning på 2pi (kun 6,28 inches) i omkredsen.
6Navigation
Pi spiller en fremtrædende rolle inden for navigation, især når det kommer til storskala global positionering. Da mennesker er ganske små i forhold til Jorden, har vi en tendens til at tænke på at rejse som værende lineær. Men når flyene flyver, flyver de selvfølgelig på en cirkelbue. Flyvevejen skal derfor beregnes som sådan, at man måler rejsetid, brændstofforbrug mv. Når du også finder dig selv på jorden ved hjælp af en GPS-enhed, skal pi spille en vigtig rolle i disse beregninger.
Så hvad med navigation, der kræver endnu mere præcis præcision over endnu større afstande end en flyvning fra New York til Tokyo? Susan Gomez, leder af det internationale rumstedsvejledning og navigationssystem (GNC) til NASA, afslører, at de fleste af beregningerne NASA kører, der involverer pi, bruger 15 eller 16 cifre, især når der kræves superdefinerede beregninger for den rumintegrerede globale positionering System / Inertial Navigation System (SIGI) -programmet, der styrer og stabiliserer rumfartøjer under missioner.
5Signal Processing og Fourier Transform
Mens pi er bedst kendt for at lave geometriske målinger som f.eks. Beregning af en cirkels areal, spiller den også en fremtrædende rolle i signalbehandling, hovedsagelig gennem en operation kendt som Fourier-transformen, som konverterer et signal til et frekvensspektrum. Fouriertransformen kaldes "frekvensdomænerepræsentationen" af det oprindelige signal, idet det refererer til både frekvensdomænet og den matematiske operation, der associerer frekvensdomænet til en funktion af tiden.
Mennesker og teknologi drager fordel af dette fænomen, når et signal har brug for grundlæggende konvertering, f.eks. Når din iPhone modtager en besked fra et celtårn, eller når øret skelner mellem lyde af forskellig tonehøjde. Pi, som fremstår prominent i Fourier-transformformlen, spiller en fundamental, men noget mystisk rolle i omstillingsprocessen, som den ligger i eksponenten af Euler's Nummer (den berømte matematiske konstant svarer til 2,71828 ...)
Det betyder, at hver gang du ringer op på din mobiltelefon eller lytter til et udsendelsessignal, har du pi til at takke delvist.
4Normal sandsynlighedsfordeling
Mens pi forventes at blive fundet i operationer som Fourier-transformen, der primært handler med signaler (og efterfølgende bølger), kan det være overraskende at finde pi, der spiller en stor rolle i formlen for normal sandsynlighedsfordeling. Du er uden tvivl kommet over denne berygtede fordeling før. Det er involveret i en lang række fænomener, vi ser udfolde sig regelmæssigt, fra terninger til testresultater.
Når du ser pi lurker i en kompleks ligning, formoder, at en cirkel er skjult et sted inden for det matematiske stof. Ved normal sandsynlighedsfordeling leveres pi gennem det gaussiske integral (også kendt som Euler-Poisson-integralet), som indeholder kvadratroden af pi. Faktisk er alt, hvad der kræves, små ændringer i variablerne i det gaussiske integral for at beregne normaliseringskonstanten for den normale fordeling.
En fælles, men ikke-intuitiv anvendelse af det gaussiske integral indebærer "hvid støj", en normalt distribueret tilfældig variabel, der bruges til at forudse alt fra vindstød på et plan til strålevibrationer i storskala konstruktion.
3Mandende floder
Pi har et fascinerende og uventet forhold til bugtende floder. En flods sti beskrives for det meste af sin sinuosity-dens tendens til at vind fra side til side, da den krydser en slette. Dette kan beskrives matematisk som længden af sin snoede sti divideret med længden af floden fra dens kilde til dens mund. Det viser sig, at uanset flodens længde, eller hvor mange drejninger det tager langs sin vej, har den gennemsnitlige flod en sinuositet på omtrent pi.
Albert Einstein lavede flere observationer om hvorfor floder har tendens til at opføre sig på denne måde. Han bemærkede, at vand strømmer hurtigere udenfor en flodbøjning, hvilket fører til hurtigere erosion omkring banken, hvilket igen skaber en større bøjning. Disse større bøjninger mødes, hvilket får floden til at danne en "genvejstilslutning". Denne frem og tilbage bevægelse ser ud til konstant at rette sig selv, da flodens sinuosity flytter tilbage mod pi.
2Pi og Fibonacci-sekvensen
Gennem det meste af historien var der kun to metoder til at beregne pi, en opfundet af Archimedes, og den anden af den skotske matematiker James Gregory.
Det viser sig imidlertid, at pi også kan beregnes ved hjælp af Fibonacci-sekvensen. Hvert efterfølgende tal i Fibonacci-sekvensen er summen af de to foregående tal. Sekvensen begynder med 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 og fortsætter uendeligt. Og da arktangenten på 1 er pi / 4, betyder det, at pi kan udtrykkes i form af Fibonacci-tal ved at omarrangere ligningen til at være arctan (1) * 4 = pi.
Udover at være et iboende fascinerende og smukt antal sæt, spiller Fibonacci-sekvensen en vigtig rolle i en række naturlige forekomster i hele kosmos. Det kan modellere eller beskrive et fantastisk udvalg af fænomener i matematik og naturvidenskab, kunst og natur. De matematiske ideer, som Fibonacci-sekvensen fører til, såsom guldforholdet, spiralerne og kurverne, er længe blevet værdsat for deres skønhed, men matematikere kæmper stadig for at forklare dybden af forbindelsen.
1Quantum Mechanics
Pi er utvivlsomt en uundgåelig og kompleks hæftning af vores verden, men hvad med universet som helhed? Pi manifesterer sig gennem hele universet og er faktisk involveret i selve ligningerne, der søger at forklare kosmos natur. Faktisk bruger mange formler, der anvendes i kvantemekanikernes rige, som styrer den mikroskopiske verden af atomer og kerner, anvendelse af pi.
Måske er de mest kendte af sådanne ligninger Einstein-feltekvationerne (også kendt som Einstein's ligninger) -et sæt af 10 ligninger i Einsteins generelle relativitetsteori, der beskriver gravitationens grundlæggende interaktion som følge af, at rumtiden er buet af masse og energi. Mængden af tyngdekraften til stede i et system er proportional med mængden af energi og momentum, med proportionalitetskonstanten relateret til G, en numerisk konstant.