Top 10 uvidende ting

Der er mange ting, vi ikke kender; Personligt er jeg en veritabel uhyggelighed. Men der er forskel på ting, vi ikke kender, og ting, der ikke kan kendes. For eksempel ved ingen, hvornår Shakespeare blev født (selvom vi ved, hvornår han blev døbt). Men det er ikke umuligt, at vi i fremtiden kan finde ud af det - et langt tabt dokument kan findes, der nævner hans fødsel, så Shakespeares ægte fødselsdato er ikke uvidende, bare ukendt. Denne liste indeholder 10 ting, der i princippet ikke kan antages. Ikke alene er de ukendte nu, de kan aldrig blive kendt.

De fleste af disse er matematiske; Jeg har forsøgt at gøre det så ikke-teknisk som muligt - bortset fra noget andet, jeg er ingen matematiker, så jeg har forsøgt at dumme det ned nok, så jeg kan forstå det.

10

Sæt og flere sæt

Unknowable Thing: Hvad er der i et sæt sæt, der ikke indeholder sig selv?

Vi skal lave en lille matematik til flere af disse ting! Dette er den første på listen, fordi begrebet "unknowable" på en måde begynder med dette paradoks, der blev opdaget af Bertrand Russell i 1901.

Lad os starte med ideen om et sæt. Et sæt er en samling af objekter - for eksempel kan du have et sæt positive positive tal, der indeholder 2, 4, 6, 8 ... eller sæt af primtal, der indeholder 2, 3, 5, 7, 11 ... så langt så godt.

Kan sæt indeholde andre sæt? Ja, ikke noget problem - du kunne have et sæt sæt, der indeholder andre sæt - og det sætter selvfølgelig selv. Faktisk kan du opdele sæt i to typer - dem der indeholder sig selv og dem, der ikke gør det.

Så overvej et sæt (S, siger) af sæt, der ikke indeholder sig selv. Indeholder S sig selv? Hvis det gør det, skal det ikke være i sættet, men hvis det ikke gør det, så skal det. Så S hopper hele tiden ind og ud af sig selv.

Dette paradoks forårsagede en masse forvirring blandt matematikere. Forestil dig nogen der beviser, at et tal kan være ensartet og underligt, det er ligeledes bekymrende for det. Man har fået vejen rundt om paradokset - i det væsentlige ved at omdefinere sætteori.

9

Grahams nummer

Det er blevet sagt, at problemet med folks opfattelse af universet er, at vores hjerner kun er vant til at håndtere små tal, korte afstande og korte perioder. Grahams nummer er stort nok til at gøre de fleste menneskers hjerner begyndt at dampe; det er virkelig stort; for at sætte det i kontekst, lad os se på nogle såkaldte store numre:

De fleste mennesker har hørt om en googol - for de fleste formål er det et stort antal - 10 ^ 100, som er 1 efterfulgt af 100 nuler.

Der er dog meget større tal derude; en googolplex er 1 efterfulgt af en googol nul og matematikeren Stanley Skewes har definerede tal meget større end en googolplex.

For at sætte disse i kontekst er den mindste af dem (googolen) stadig meget større end antallet af partikler i universet (omkring 10 ^ 87).

Grahams nummer banker dog disse "småbørn" ud af jorden - det blev brugt af Ronald Graham i hans (for mig) uforståelige arbejde på multidimensionelle hypercubes (det er den øvre grænse for en af ​​løsningerne). Det er nok at sige, at det er langt større end Skewes 'tal, og i virkeligheden er universet ikke stort nok til at gemme den trykte version. Selvom hvert ciffer var størrelsen af ​​en elektron. Ikke engang tæt på.

Det virkelig vidunderlige ved Grahams nummer er, at det er muligt at beregne de sidste få cifre, og vi ved, at det ender i en 7.

8

Mindste heltal

Unknowable Thing: Hvad er det mindste positive heltal ikke definerbart i under elleve ord?

Dette er et problem i matematikens filosofi. Bare for at gøre tingene lidt klarere er et helt tal et helt tal (1, 2, 3 osv.), Og for mindre heltal er det let at definere dem i ord:

"Firkanten af ​​2" = 4
"En mere end 4" = 5

… og så videre. Nu som et tankeeksperiment - overvej hvor mange elleve ordsæt der er - tydeligvis er der meget; men der er kun et begrænset antal ord (ca. 750.000 på engelsk), så der er kun et begrænset antal elleve ordsætninger - på et tidspunkt vil du løbe ud, og der ville være et helt tal, du ikke kunne definere. Bortset fra, at "Det mindste positive heltal ikke defineres i under elleve ord" indeholder kun ti ord, så du kan definere det under elleve ord.

Dette kaldes Berrys paradoks, og det er faktisk en slags "håndskyde" med sprog - vi flytter subtly fra navngivne tal for at beskrive dem, men det kan stadig ikke lykkes med det nummer!

7

Software

Unknowable Thing: Vil et computerprogram nogensinde stoppe?

Da jeg sad gennem rene matematik klasser i skolen, var det en almindelig klage over, at det vi lærte var "ubrugeligt." Desværre svarede læreren simpelthen med "du lærer dette, fordi det er på pensum." Turing Halting-problemet lyder som en klasse-en ubrugelig, helt akademisk, spild af tid. Bortset fra det førte det til udvikling af digitale computere.

Alan Turing var en engelsk matematiker og et barnunderland, især i matematik. Hans arbejde på computermaskiner var i første omgang helt teoretisk; han arbejdede på ideen om at beskrive matematiske udsagn helt numerisk, så de kunne behandles af en teoretisk computermaskine. Han tænkte på begrebet almindelig computermaskine (nu kaldet Turing Machine) som et tankeeksperiment - han forestillede sig ikke, at nogen faktisk byggede en.

Han begrundede, at et computerprogram enten skal køre for evigt eller stoppe.Han viste sig, at det er umuligt at automatisk bestemme, hvad der vil ske - jeg ved, du kan argumentere for at du kunne "køre programmet og se hvad der sker" - men antager at det kun stopper efter 7 billioner år?

Lidt mere om Turing: Hans tankegang er særlig bemærkelsesværdig, fordi han gjorde det i 1936 - år før den første digitale computer blev bygget. Anden Verdenskrig startede i 1939, men Turing havde arbejdet med kodebrydning i Bletchley Park et år før det; forsøger at dechiffrere den tyske Enigma-kode. Det var klart, at en "manuel" tilgang var for langsom, og Turing specificerede den første dekodningsmaskine (kaldet Bombe), hvilket førte til Colossus - muligvis den første programmerbare digitale computer, der automatisk kunne løbe gennem mange mulige "nøgler". var så vigtigt at dekryptere, at meget forblev hemmeligt langt efter krigen sluttede; nogle blev kun offentliggjort i år - 60 år efter det blev skrevet.

6

Beregner ikke

Unknowable Thing: Der er tal, der ikke kan beregnes.

Dette er et andet sind bender bevist af Alan Turing. For en start er der mere end en "uendelighed." For eksempel, hvor mange positive, hele tal er der? Hvorfor er der uendeligt - de stopper aldrig. Hvor mange positive, lige tal er der? Det samme - hvis du fordobler et positivt heltal, får du et tilsvarende ensartet tal, så der skal være det samme nummer.

Okay, hvor mange rigtige tal er der? Reelle tal omfatter alle fraktioner, irrationelle tal (som pi) og hele tal (positive eller negative). Nå er der meget mere, end der er hele tal - mellem hvert hele tal er der et uendeligt antal reelle tal; så antallet af reelle tal er en meget større uendelighed end antallet af hele tal.

Med dette koncept fast på plads; det kan du begrunde således:

Antag at du begynder at skrive computerprogrammer for at generere reelle tal, et for hvert reelt tal.

Du tæller hvert program; den første er "1", den anden, "2" og så videre - som du tæller bruger du de positive, hele tal.

Problemet er, at selv om du er glad for at skrive et uendeligt antal programmer, er denne uendelighed mindre end det uendelige antal reelle tal, så der må mangle mange (faktisk de fleste) reelle tal - det kan ikke være beregnet.

5

Sandt eller falsk?

Unknowable Thing: I matematik er der sande ting, der ikke kan bevises sande - og vi ved ikke, hvad de er.

Denne hjernesårende sætning blev udviklet af Kurt Gödel. Konceptet går tilbage til 1900, da David Gilbert foreslog 23 "problemer" i matematik, som han gerne vil se løst i det kommende århundrede. Et problem var at bevise at matematikken var konsekvent - hvilket ville være dejligt rart at vide. Men i 1901 blæste Gödel det ud af vandet med sin ufuldstændige sætning - jeg vil ikke gennemgå sætningen i detaljer her, dels fordi jeg ikke forstår detaljerne, men hovedsagelig fordi det tog mig tre separate foredrag før Jeg følte endda, at jeg var derhen, så hvis du er interesseret: Wikipedia er din ven!

Sammenfattende viser teoremet, at du ikke kan bevise matematik konsistent ved kun at bruge matematik (du skal bruge et "meta-sprog"). Desuden viste han også, at der er sande ting i matematik, der ikke kan bevises sande.

Da jeg lærte sætningen, blev det antydet, at den berømte Fermats sidste sætning kunne være sådan en "sand ting, der ikke kan bevises sandt", men det var forkælet som et eksempel, da Andrew Wiles viste sig sandt i 1995. Men her er et par ting, der kan være sande, men ikke beviselige:

"Der er ikke noget underligt, perfekt nummer."

Et perfekt tal er et positivt heltal, hvis divisors tilføjer til sig selv. For eksempel er 6 et perfekt tal - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 er det næste perfekte nummer. Perfekt tal forekommer sjældent, og indtil nu er der kun fundet 41 perfekte tal. Ingen ved, hvor mange der er - men det er mellem 41 og uendelig!

Hidtil har alle de perfekte tal været lige, men igen ved ingen, om der er en mærkelig en, der endnu ikke findes, men hvis der er en, er det et meget stort nummer; større end 10 ^ 1500 - (1 med 1500 nul efter det).

"Hvert lige tal er summen af ​​to primater."

Et primtal er kun delbart af sig selv eller 1, og det er en nysgerrig kendsgerning, at hvert lige antal, der er blevet testet, er summen af ​​to af dem - for eksempel: 8 = 5 + 3 eller 82 = 51 + 31. Igen , det vides at være sandt for mange numre (op til ca. 10 ^ 17), og det er også kendt, at jo højere et tal er, jo mere sandsynligt er det at være en prime, så det synes sandsynligvis jo højere du får, men hvem skal sige der er ikke et rigtig stort lige nummer derude, hvor det ikke er sandt?

4

Hvad er sandheden, mand?

Stadig i provabilitetsverdenen kommer vi til Tarksis ubestemmelighed sætning, men for at tantalize, er der noget på baggrund af Tarksi.

Han var søn af jødiske forældre født i førkrigspolen, og han var meget heldig. Han blev født Alfred Teitelbaum i 1901. Der var udbredt antisemitisme i førkrigspolen, og i 1923 ændrede Alfred og hans bror deres efternavn til "Tarski" - et navn de dannede, fordi det "lød mere polsk." De ændrede også deres religion fra jødisk til romersk katolsk - selv om Alfred faktisk var en ateist.

I slutningen af ​​1930'erne søgte Tarski om flere professorater i Polen, men blev afvist - heldigvis, som det viste sig. I 1939 blev han inviteret til at henvende sig til en konference i Amerika, som han sandsynligvis ikke ville have deltaget i, hvis han for nylig havde optaget et professorat.Tarski fangede det sidste skib for at forlade Polen før den tyske invasion den følgende måned. Han havde ikke tænkt, at han var "undslippe" fra Polen - han forlod sine børn bagved at tro, at han snart ville vende tilbage. Hans børn overlevede krigen, og de blev genforenet i 1946, selvom de fleste af hans udvidede familie blev dræbt af de tyske besættere.

Tilbage til sætningen: Tarski viste, at den aritmetiske sandhed ikke kan defineres i aritmetik. Han udvide også dette til ethvert formelt system; "Sandhed" for det pågældende system kan ikke defineres i systemet.

Det er muligt at definere sandhed for et system i et stærkere system; men selvfølgelig kan du ikke definere sandheden i det stærkere system, du bliver nødt til at gå videre til et stadig stærkere system - og så videre på ubestemt tid på udkig efter den uopnåelige sandhed.

3

Partikeldetaljer

Unknowable Thing: Hvor er den partikel, og hvor hurtigt går det?

Vi forlader hjernens hurtende verden af ​​matematik, men desværre går vi ind i den endnu mere cortex-boggling verden af ​​kvantefysik. Usikkerhedsprincippet opstod, da vi studerede subatomære partikler og ændrede hvordan vi ser universet. Da jeg var i skole, blev vi undervist, at et atom var som et mini-solsystem med en sollignende kerne i midten med elektroner kredsløb, og elektronerne var som små marmor.

Det er så forkert - og en af ​​de vigtigste opdagelser på vej til at vise det var Heisenbergs usikkerhedsprincip. Werner Heisenberg var en tysk teoretisk fysiker, der arbejdede tæt sammen med den danske fysiker Niels Bohr i 1920'erne. Heisenbergs resonemang går således:

Hvordan finder jeg ud af, hvor en partikel er? Jeg skal se på det, og for at se på det skal jeg belyse det. For at belyse det, skal jeg fyre fotoner på det, når en foton rammer partiklen, vil partiklen blive flyttet af fotonen - så ved at forsøge at måle den position, ændrer jeg dens position.

Teknisk set siger princippet, at du ikke kan kende en partikkels position og momentum samtidig. Dette er ens, men ikke det samme som "observatør" -effekten i forsøg, hvor der er nogle eksperimenter, hvis resultater ændres afhængigt af, hvordan de observeres. Usikkerhedsprincippet er på meget fastere matematiske fodfæste og, som jeg nævnte, ændrede måden universet ses på (eller hvordan universet af de meget små er set). Elektroner betragtes nu som sandsynlighedsfunktioner snarere end partikler; vi kan beregne, hvor de sandsynligvis vil være, men ikke hvor de er - de kunne rent faktisk være overalt.

Usikkerhedsprincippet var ganske kontroversielt, da det blev annonceret; Einstein sagde famously, at "Gud spiller ikke terninger med universet", og det var omkring denne tid, at splittelsen i fysik, der adskilte kvantemekanik - som studerer den meget lille og makrofysik, der studerer større objekter og kræfter, startede. Denne splittelse skal stadig løses.

2

Chaitins konstante

Chaitins konstant er et eksempel på, hvad der virker normalt og fornuftigt for en matematiker, men skør lydende til resten af ​​os. Chaitins konstant er sandsynligheden for, at et tilfældigt computerprogram stopper. Hvad der er vanvittigt om det (faktisk et af få ting), er at der er en anden konstant for hvert program, så der er et uendeligt antal værdier for denne "konstante" - som normalt vises som en græsk omega (Ω) . Den anden lidt vanvittige ting er, at det ikke er muligt at bestemme, hvad Ω er - det er et ukompliceret tal, hvilket er en skam - hvis vi kunne beregne Ω, så er det blevet vist, at de fleste ubeviste problemer i matematikken rent faktisk kunne bevises ( eller disproved).

1

Ukendte Unknowables

Indtil videre har vi beskrevet ting, vi ved, at være uvidende (hvis det giver mening). Det endelige emne beskriver dog ting, der kan være sande, men det kan ikke være kendt. Du tror måske, jeg vil kæmpe for at finde et eksempel, men overvej følgende:

Vi lever i et ekspanderende univers; når vi ser på andre galakser flytter de væk fra os og accelererer. Nu i en fjern fremtid (omkring 2 billioner år fra nu) vil alle de andre galakser være så langt væk, at de ikke vil kunne observeres (teknisk vil de bevæge sig så hurtigt, at lyset vil blive strakt ind i gammastråler med bølgelængder længere end universet er bredt). Så hvis du var en astronom i 2 billioner år, ville der ikke være nogen måde at vide, at der var milliarder af andre galakser i universet - og hvis nogen foreslog det, ville du grine sparsomt og sige "vis mig beviset; du har intet. "

Så med det i tankerne, kom tilbage til nutiden - der kan være sande ting om universet, som vi aldrig kan vide. Gulp!

+

Kedelig…

Unknowable Thing: Er der nogen uinteressant folk?

Det er ret nemt at argumentere for, at der ikke er nogen uinteressante mennesker:

Overvej at lave en liste over uinteressante mennesker; en af ​​disse mennesker vil være den yngste - og at være den yngste uinteressante person er selv interessant - så de skal fjernes fra listen. Nu er der en ny yngste uinteressant person, og de kan også fjernes fra listen og så videre - indtil listen skal være tom. Så hvis du møder nogen, du tror, ​​er uinteressant, skal du have fået det forkert.