10 fedeste matematikresultater

Mange mennesker er afskrækket af de uklare symboler og strenge regler for matematik, der giver op på et problem, så snart de ser både tal og bogstaver involveret. Men mens matte måske er tyndt og vanskeligt til tider, kan resultaterne det vise sig undertiden smukke, sindrende eller bare uventede. Resultater som:

10

4-farve sætningen

4-farve teorem blev først opdaget i 1852 af en mand ved navn Francis Guthrie, der på det tidspunkt forsøgte at farve på et kort over alle amter i England (det var før internettet blev opfundet, var der ikke meget at gør). Han opdagede noget interessant - han havde kun brug for maksimalt fire farver for at sikre, at ingen amter, der delte en kant, blev farvet det samme. Guthrie undrede sig over, hvorvidt dette var tilfældet for et kort, og spørgsmålet blev en matematisk nysgerrighed, der gik uløst i årevis.

I 1976 (over et århundrede senere) blev dette problem endelig løst af Kenneth Appel og Wolfgang Haken. Beviset, de fandt, var ret komplekst og påberåbte sig delvis på en computer, men det hedder, at der på ethvert politisk kort (siger af staterne) kun er brug for fire farver for at farve hver enkelt stat, således at ingen stater af samme farve nogensinde er i kontakt.

9

Brouwer's Fixed Point Theorem

Denne sætning kommer fra en gren af ​​matematik kendt som topologi, og blev opdaget af Luitzen Brouwer. Selvom det tekniske udtryk er ret abstrakt, har det mange fascinerende virkelige virkninger på verdensplan. Lad os sige, vi har et billede (for eksempel Mona Lisa), og vi tager en kopi af det. Vi kan så gøre hvad vi vil have til denne kopi - gøre det større, gøre det mindre, drej det, smuldre det op, noget. Brouwer's Fixed Point Theorem siger, at hvis vi lægger denne kopi overlapning af vores originale billede, skal der være mindst et punkt på den kopi, der er lige overhovedet samme punkt på originalen. Det kunne være en del af Monas øje, øre eller mulig smil, men det må eksistere.

Dette virker også i tre dimensioner: forestil dig, at vi har et glas vand, og vi tager en ske og omrører det så meget som vi ønsker. Ved Brouwer's sætning vil der være mindst et vandmolekyle, der er på det samme sted som det var før vi begyndte at røre.

8

Russell's Paradox

Fotokredit: Lonpicman

Ved begyndelsen af ​​det 20. århundrede blev mange mennesker forankret af en ny gren af ​​matematik kaldet Set Theory (som vi vil dække lidt senere i denne liste). Dybest set er et sæt en samling af objekter. Tænkningen af ​​tiden var, at alting kunne omdannes til et sæt: Sætet af alle typer frugt og sæt af alle amerikanske præsidenter var begge helt gyldige. Derudover, og dette er vigtigt, kan sæt indeholde andre sæt (som sæt af alle sæt i foregående sætning). I 1901 gjorde den berømte matematiker Bertrand Russell noget skævt, da han indså, at denne måde at tænke på havde en fatal fejl: det er ikke noget, der kan gøres til et sæt.

Russell besluttede at få meta om ting og beskrev et sæt der indeholdt alle de sæt, der ikke indeholder sig selv. Sætet af al frugt indeholder ikke sig selv (juryen er stadig ude om, hvorvidt den indeholder tomater), så den kan indgå i Russells sæt sammen med mange andre. Men hvad med Russells sætte sig selv? Det indeholder ikke sig selv, så det bør også medtages. Men vent ... nu indeholder det sig selv, så vi skal naturligvis tage det ud. Men nu skal vi sætte det tilbage ... og så videre. Dette logiske paradoks forårsagede en fuldstændig reformation af Set Theory, en af ​​de vigtigste grene af matematik i dag.

7

Fermats sidste sætning

Husk Pythagoras sætning fra skolen? Det har at gøre med retvinklede trekanter, og siger at summen af ​​kvadraterne på de to korteste sider er lig med kvadratet på den længste side (x kvadreret + y kvadreret = z kvadreret). Pierre de Fermats mest berømte sætning er, at denne samme ligning ikke er sandt, hvis du erstatter kvadreret med et tal større end 2 (du kunne ikke sige x cubed + y cubed = z cubed, for eksempel), så længe x, y, og z er positive hele tal.

Som Fermat selv skrev: "Jeg har opdaget et virkelig vidunderligt bevis på dette, som denne margen er for smal til at indeholde." Det er virkelig ondt, for mens Fermat stillede dette problem i 1637, gik det ubevistet i et stykke tid. Og med et stykke tid mener jeg, at det blev bevist i 1995 (358 år senere) af en mand ved navn Andrew Wiles.

6

Doomsday Argumentet

Det er en rimelig antagelse, at de fleste læsere af denne artikel er mennesker. At være mennesker, vil denne post være særligt nyderende: matematik kan bruges til at bestemme, hvornår vores art vil dø ud. Brug sandsynlighed, alligevel.

Argumentet (som har eksisteret i ca. 30 år og er blevet opdaget og genopdaget et par gange) siger i det væsentlige, at menneskehedens tid er næsten op. En version af argumentet (tilskrives astrophysicist J. Richard Gott) er overraskende simpelt: Hvis man overvejer den menneskelige livs komplette levetid til at være en tidslinje fra fødsel til død, så kan vi bestemme hvor på den tidslinje vi er nu.

Da det lige nu er et tilfældigt punkt i vores eksistens som en art, så kan vi sige med 95% nøjagtighed, at vi er inden for den midterste 95% af tidslinjen, et eller andet sted. Hvis vi siger det lige nu, er vi præcis 2,5% i menneskets eksistens, vi får den længste forventede levetid. Hvis vi siger, at vi er 97,5% i menneskets eksistens, giver det os den korteste forventede levetid. Dette giver os mulighed for at få en række af den forventede levetid for menneskeheden. Ifølge Gott er der en 95% chance for, at mennesker vil dø en gang mellem 5100 år og 7,8 millioner år fra nu. Så der går du, menneskeheden - få bedre på den skovliste.

5

Ikke-Euklidisk Geometri

En anden smule matematik, du kan huske fra skolen, er geometri, som er den del af matematikken, hvor doodling i dine noter var punktet. Den geometri, de fleste af os er bekendt med, hedder euklidisk geometri, og den er baseret på fem ret simple selvindlysende sandheder eller aksiomer. Det er den regelmæssige geometri af linjer og punkter, som vi kan tegne på tavle, og i lang tid blev det betragtet som den eneste måde geometri kunne fungere på.

Problemet er imidlertid, at de selvindlysende sandheder, som Euclid skitserede over 2000 år siden, ikke var så selvklart for alle. Der var et aksiom (kendt som parallelpostulatet), der aldrig sad rigtigt med matematikere, og i århundreder forsøgte mange mennesker at forene det med de andre aksiomer. I begyndelsen af ​​1700-tallet blev en dristig ny tilgang forsøgt: det femte aksiom blev simpelthen ændret til noget andet. I stedet for at ødelægge hele systemets geometri blev der opdaget en ny, der nu kaldes hyperbolsk geometri (eller bolyai-lobachevsk). Dette førte til et komplet paradigmeskift i det videnskabelige samfund og åbnet portene for mange forskellige typer ikke-euklidisk geometri. En af de mest fremtrædende typer kaldes Riemannian geometri, som bruges til at beskrive ingen andre end Einsteins Relativitetsteori (vores univers, interessant nok, overholder ikke den euklidiske geometri!).

4

Eulers formel

Eulers formel er et af de mest kraftfulde resultater på denne liste, og det skyldes en af ​​de mest produktive matematikere, der nogensinde har levet, Leonhard Euler. Han udgav over 800 papirer i hele sit liv - mange af dem mens de var blinde.

Hans resultat ser ganske enkelt ud ved første øjekast: e ^ (i * pi) + 1 = 0. For dem der ikke ved, er både e og pi matematiske konstanter, der kommer op på alle mulige uventede steder, og jeg står for den imaginære enhed, et tal der er lig med kvadratroten på -1. Den bemærkelsesværdige ting om Eulers formel er, hvordan den formår at kombinere fem af de vigtigste tal i al matematik (e, i, pi, 0 og 1) i en så elegant ligning. Det er blevet kaldt af fysikeren Richard Feynman "den mest bemærkelsesværdige formel i matematik", og dens betydning ligger i dens evne til at forene flere aspekter af matematik.

3

Turing's Universal Machine

Vi lever i en verden, der er domineret af computere. Du læser denne liste på en computer lige nu! Det siger sig selv, at computere er en af ​​de vigtigste opfindelser i det 20. århundrede, men det kan måske overraske dig at vide, at computere i deres kerne begynder i teoriernes matematik.

Matematiker (og også WW2 kode-breaker) Alan Turing udviklede en teoretisk genstand kaldet en Turing Machine. En Turing Machine er som en meget grundlæggende computer: den bruger en uendelig streng af tape og 3 symboler (siger 0, 1 og tom), og opererer derefter med et sæt instruktioner. Instruktioner kan være at ændre en 0 til en 1 og flytte et mellemrum til venstre, eller for at udfylde et tomt og flytte et mellemrum til højre (for eksempel). På den måde kan en Turing Machine bruges til at udføre enhver veldefineret funktion.

Turing fortsatte derefter med at beskrive en Universal Turning Machine, som er en Turing Machine, der kan efterligne enhver Turing Machine med nogen input. Dette er i det væsentlige begrebet en lagret program computer. Med intet andet end matematik og logik skabte Turing inden for computervidenskabens år inden teknologien endog var i stand til at konstruere en rigtig computer.

2

Forskellige niveauer af uendelig

Infinity er allerede et ret vanskeligt begreb at forstå. Mennesker blev ikke skabt til at forstå det uendelige, og derfor er Infinity altid blevet behandlet med forsigtighed af matematikere. Det var først i sidste halvdel af 1800-tallet, at Georg Cantor udviklede filialen af ​​matematik kendt som Set Theory (husk Russells paradoks?), En teori, der tillod ham at overveje den uendelige sande natur. Og hvad han fandt var virkelig overvældende.

Som det viser sig, når vi forestiller os uendelighed, er der altid en anden form for uendelighed, der er større end det. Det laveste niveau af uendelighed er mængden af ​​hele tal (1,2,3 ...), og det er en tæller uendelighed. Med nogle meget elegante ræsonnement fastslog Cantor, at der er et andet niveau af uendelighed efter det, uendeligheden af ​​alle rigtige tal (1, 1.001, 4.1516 ... stort set et hvilket som helst tal du kan tænke på). Den slags uendelighed er ubestridelig, hvilket betyder, at selv om du havde hele tiden i universet, kunne du aldrig liste alle de rigtige tal i orden uden at savne nogle. Men vent - som det viser sig, er der endnu flere niveauer af ubestridelig uendelighed efter det. Hvor mange? Et uendeligt antal, selvfølgelig.

1

Gödel er ufuldstændighedsteorier

I 1931 viste den østrigske matematiker Kurt Gödel to teoremer, der rystede matteverdenen til sin kerne, fordi de i fællesskab viste noget ret nedslående: matematik er ikke og vil aldrig være fuldstændig.

Uden at komme ind i de tekniske detaljer viste Gödel, at i et hvilket som helst formelt system (som et system af de naturlige tal) er der visse sande udtalelser om systemet, som ikke kan bevises af selve systemet. Grundlæggende viste han, at det er umuligt for et aksiomatisk system at være helt selvstændigt, hvilket gik imod alle tidligere matematiske antagelser. Der vil aldrig være et lukket system, der indeholder alle matematik-eneste systemer, der bliver større og større, da vi uden held forsøger at gøre dem færdige.