10 sjove eksempler på rekreativ talteori
Matematikere kan lide at klassificere og organisere tal på alle måder. Naturlige tal anvendes til tælling og bestilling; Nominelle tal bruges til navngivning (som et førerkortnummer); heltal er tal, der kan udtrykkes uden en brøkdel eller en decimal; primtal kan kun divideres med 1 og af sig selv; og så videre. Men der er ingen grænse for, hvordan vi kan forstå og bruge tal; Derfor er der en gren af ren matematik, primært baseret på undersøgelsen af heltal, kaldet "talteori." Selvom vi nu forstår, at talteori har grænseløse applikationer, anvendelser og formål, kan det synes at være lunken til punktet meningsløshed - især delmængden kendt som "rekreative talteori." Talsteoretikeren Leonard Dickson sagde engang: "Gudskelov, at talteori er uønsket ved enhver ansøgning."
Men det betyder ikke, at det ikke giver en grad af nerdy sjov for dem så tilbøjelige. Læs videre for at lære, hvad der gør et nummer "interessant", "underligt", "glad", "narcissistisk", "perfekt" og mere!
10Mindelige tal
Åh, mindelige tal. De elsker hinanden så meget. Hvor meget? Nå, lad os tage et klassisk par-284 og 220-og se lige hvor venlige de er. Lad os tage alle de egentlige divisorer på 220 (det vil sige alle dets divisors, der ikke efterlader nogen rester, inklusive nummer 1, og udelukkende nummeret selv) og alle dem op:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Lad os nu tage 284 og gøre det samme:
1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.
Voila: et par mindelige tal. Andre par indbefatter (1184, 1210), (2620, 2924) og (5020, 5564). Denne type nummerpar blev opdaget og studeret af pythagoreerne, og har været genstand for meget forskning gennem århundrederne - Fermat, Descartes, Iransk Muhammad Baqir Yazdi og irakisk Th? Bit ibn Qurra er blandt de mange matematikere, der har delvist i verden af elskværdige tal. Emner for yderligere undersøgelse omfatter forsøg på at opdage, om der er en uendelig mængde par, at skelne mønstre, og for bedre at forstå hvorfor og hvordan dette sker.
Fordi matematikere aldrig ville være tilfredse med bare venlige tal, er "forlovede tal" par, hvor summen af de korrekte divisorer af hvert tal er lig med det andet tal +1.
9 latmirp"Emirp" er ordet "prime" stavet baglæns, og det refererer til et prime nummer, der bliver et nyt prime nummer, når du vendes sine cifre. Emirper indbefatter ikke palindromiske primere (som 151 eller 787) eller 1-cifrede primere som 7. De første få emirper er 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 og 157 - vend dem og du har et nyt prime nummer på dine hænder.
For det meste siger "emirp" igen og igen, at det er en slags blast. Giv det en hvirvel!
Interessante tal
Der er et gammelt paradoks i matematikens verden, der er kendt som det "interessante talparadox." Simpelthen sætter du, hvis du fortsætter med at tælle naturlige tal, vil du til sidst møde en, der ikke er interessant; hvor det bliver paradoksalt er, at det i kraft af at være det mindste uinteressante nummer, er nummeret nu blevet interessant.
Selvfølgelig er dette helt subjektivt, da det afhænger af en vag definition af ordet "interessant." Meget generelt set betragtes et tal interessant, hvis det har en form for matematisk kvalitet, der adskiller det fra hinanden; 19 er interessant, fordi det er førsteklasses, 999 er interessant, fordi det er et palindrom (og den britiske version af 911); 24 er interessant, fordi det blandt andet er det største antal deleligt med alle tal mindre end dets kvadratrod. matematikere
7 Kraftfulde talAchilles var en stærk trojanskrigshelt, der var yderst magtfuld, men havde en fejl - hans achilleshæl. Ligesom han er Achilles tal kraftige, men ikke perfekte.
Så lad os begynde med et stærkt tal. Et tal betragtes som kraftfuldt, hvis alle dens primære faktorer forbliver faktorer, når de er kvadret. 25 er et kraftfuldt tal, fordi dets en primære faktor, 5, forbliver en faktor, når den er blevet kvadret (25, som går ind i 25 en gang). Lad os nu flytte på perfekte kræfter, tal, som kan udtrykkes som et helt tal af et andet heltal; 8 er en perfekt kraft, da den er 2 kuberet.
Så nu, tilbage til den oprindelige forudsætning - Achilles tal er magtfulde, men de er ikke perfekte kræfter. 72 er det første akilles nummer, da det er kraftigt, men det er ikke et perfekt prime. Andre indbefatter 108, 200, 288, 392, 432, 500 og 648.
6Rare tal
Hvad er rare numre? For at forstå dem skal vi først begynde med "rigelige" tal. Rige tal, også kendt som "overdreven", er større end summen af deres egentlige divisorer. 12 er for eksempel det første (mindste) rigelige tal - summen af dets egentlige divisorer, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, er 16. 12 har derfor en "overflod" på 4, hvor meget som Summen af dens divisorer overstiger tallet. Der er mange lige mange tal, men vi kommer ikke til en underlig en til nummer 945.
Nogle rigelige tal er "semiperfect" eller "pseudoperfect", hvilket betyder, at de er ens for alle eller bare nogle af deres egentlige divisorer. 12 er et ufuldstændigt rigeligt antal, fordi nogle af dens divisorer kan tilføjes sammen til at danne 12.
Til sidst kommer vi til underlige tal. Et nummer er underligt, hvis det er rigeligt, men IKKE semiperfekt; Med andre ord er summen af dens divisorer større end tallet selv, men ingen delmængde af divisor summer svarer til tallet. Rare tal er ualmindeligt - de første få er 70, 836, 4.030 og 5.830.
Mens rare tal ikke er lig med summen af nogen af deres divisorer, tager det uhåndterlige tal et skridt videre. For at et tal kan være ukontrollerbart, må det ikke være lig med summen af de korrekte divisorer af ethvert nummer. Et par untouchables er 2, 5, 52 og 88; Faktisk er 5 menes at være det eneste underlige, uberegnelige antal, der eksisterer (selvom det ikke er formelt bevist). Der er et uendeligt antal uberegnelige tal, hvilket betyder, at der ikke er noget som den største.
4Perfekte tal
Så har vi diskuteret det mærkelige og det ubevægelige, er det tid til at tjekke ind med bedstemanden af alle egnede divisorrelaterede tal: perfekte tal. Et perfekt tal er et, der er nøjagtigt det samme som summen af dets egentlige divisorer (igen, eksklusive selv). Det første perfekte tal er 6, da dets divisors (1, 2, 3) er op til 6. Seks efterfølges af 28, 496 og 8128. Tidlige græske matematikere vidste kun om disse første 4 perfekte tal; Nichomatus opdagede 8,128 i år A.D. 100. Der blev opdaget tre yderligere, den første ca. 1456 (33.550.336) af en ukendt matematiker, og i 1588 (8,589,869,056 og 137,438,691,328) af den italienske matematiker Pietro Cataldi i 1588.
Alle kendte perfekte tal er ens; Det er endnu ikke kendt, om der findes en ulige prime eller endda mulig. Den engelske matematiker James Joseph Sylvester skrev "... en langvarig meditation om emnet har overbevist mig om, at eksistensen af et sådant [ulige perfekte antal] - er at undslippe fra det komplekse web af forhold, der rammer det på alle sider - ville være lidt mindre end et mirakel. "
3 Glade talNogle tal er underlige; andre er glade. Hvis du vil finde ud af, om et givet nummer er lykkeligt, skal du udføre følgende sæt operationer. Lad os tage nummer 44:
For det første, firkant hvert ciffer, og tilføj dem derefter sammen:
4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32
Så gør vi det igen med vores nye nummer:
3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
Og igen:
1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10
Og endelig:
1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1
Voila! Det er et godt tal. Når som helst du tager et nummer, udfør denne "procedure" og til sidst kommer til nummer 1, har du selv et godt tal. Hvis dit nummer aldrig når 1, så er det desværre ulykkeligt. Interessant nok er lykkeligt tal meget almindeligt; der er 11 af dem mellem 1 og 50, for eksempel.
Som en sidste note er det største lykkelige nummer uden tilbagevendende tal 986.543.210. Det er faktisk et godt tal.
2Narcissistiske tal
Narcissistiske tal, også kendt som Armstrong-numre eller "Pluperfect Digital Invariants", er tal, der lytter nøje - svarer til summen af hvert af dens cifre, når disse cifre hæves til kraften af AMOUNT af cifre i nummeret.
Okay. Hvad? Lad os tage et eksempel på de fire eksisterende narcissistiske terninger:
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3
I disse tilfælde er hvert ciffer kubet, fordi der er tre cifre i nummeret. Derefter tilføjes de cubede tal sammen for at producere en sum svarende til det oprindelige tal. Der er ingen 1-cifrede narcissistiske tal, heller ikke 12 eller 13-cifrede; de to 39-cifrede er:
115132219018763992565095597973971522400 og 115132219018763992565095597973971522401.
Den engelske matematiker GH Hardy anerkendte sådanne tallers lidenskab ved at forkynde i sin bog "The Mathematician's Apology" at "Disse er ulige fakta, meget velegnede til puslespilkolonner og sandsynligvis at underholde amatører, men der er ikke noget i dem, der appellerer til matematikeren. ”
1 Repudiater og repunitsEt repdigit er et naturligt tal med et gentagende tal; navnet kommer faktisk fra udtrykket "gentaget ciffer". Den mest berømte redigit er det såkaldte "Beast Number" 666, et fælles symbol på antikristen eller Satan. En repunit er da en repdigit, der kun bruger nummeret 1; repunits dukker op ofte i binær kode og er relateret til den mest berømte af primer, Mersenne Primes. Det er blevet antydet, at der er et uendeligt antal repunit primes, så hvis du vil forsøge at bevise det, så gør du det på din fritid.