10 Fakta fra den uskyldige verden af ​​uendelig matematik

I slutningen af ​​1800-tallet opdagede den tyske matematiker Georg Cantor "transfinitiv" matematik eller matematik ud over uendeligt. Med dette tidlige arbejde blev vi introduceret til en verden, hvor der er tal større end uendelighed og ligninger, der ikke følger aritmetiske sansregler. Det er nok nok at sige, det er nok ikke de ting, du lærte i gymnasiet.

Cantorens arbejde var oprindeligt kontroversielt og blev vitriolisk angrebet af nogle af de vigtigste matematiske figurer af hans dag. Men det blev efterhånden accepteret som canon og har hjulpet bane vejen for sætteori, som i sig selv er en potentiel undergirding for hele matematikken.

10 Infinity Plus One (eller to eller uendelig) svarer til uendelig

Det viser sig, at dette gamle barndomsord har noget til det. I betragtning af uendelighedens natur er ethvert tal, der er tilføjet til, subtraheret af, multipliceret med eller divideret med det, lig med uendelig. Dette ses i et klassisk uendeligt puslespil, kendt som Hilbers hotelparadox:

Der er et hotel, der har et uendeligt antal værelser. En træt rejsende ankommer og anmoder om et værelse, men er informeret om at alle værelserne er optaget. Hvordan kan hotellet ikke have flere værelser, da det har uendelige værelser? Hvad skal rejseren gøre?

Svaret er, at den rejsende skal anmode om, at personen i værelse 1 skal flytte til værelse to, skal personen i værelse to flytte til værelse tre og så videre ... og hun tager plads en. Infinity er uendeligt elastisk og kan udvides eller formindskes på nogen måde for at passe, hvad det er nødvendigt, om det er en rejsende eller en googolplex (ja det er et faktisk antal) rejsende.

9 Der er så mange ulige tal (og så mange tal der slutter i 123 eller 423) som der er tal

Uendelig er så uigennemtrængelig, for som Hilbers hotel kan enhver række uendelige tal sættes i hvad der betegnes som en "en-til-en-korrespondance" med en uendelig del af den serie. I lægens betegnelser betyder det, at hvis du tager alle positive hele tal (0, 1, 2, 3, 4 ...) og alle positive lige tal (0, 2, 4, 6, 8 ...), kan hver af de samlede tal matches med et lige antal. Så nul kan matches med nul, man kan matches med to, to kan matches med fire og så videre.

Da de to serier (eller "sæt") af numre stemmer overens for hvert nummer, er vi berettiget til at sige, at de er af samme størrelse. Kaldt Galileo-paradokset efter sin berømte opdager, viser dette tankeeksperiment, at størrelsen af ​​uendelighed ikke kan ændres ved hjælp af de grundlæggende redskaber af grundlæggende aritmetik som division eller tilføjelse af endelige tal. For det har du brug for noget mere sofistikeret.

8 Nogle uendelige er større end andre

Bagsiden af ​​den ene til den ene korrespondance er, at hvis der er en uendelig række tal, der stadig har tal tilbage efter at være matchet med en anden uendelig serie, så kan vi sige, at den tidligere serie af uendigheder faktisk er større end den uendelig, at den var matchet med. Dette kan virke umuligt, men du kan nok intuitivt forstå en sag hvor dette er sandt: Det uendelige antal hel tal (0, 1, 2, 3 ...) er mindre end det uendelige antal irrationelle tal. Hvis du husker fra high school math, er irrationelle tal numre som pi, der har en række decimaler, der fortsætter for evigt (3.1415 ...). Cantor viste, at det uendelige antal irrationelle tal er større end det uendelige antal hel tal ved hjælp af et genialt, men simpelt (i forhold til de mest banebrydende matematiske beviser) trick.

Han begyndte ved at antage, at irrationelle tal kunne matches med hele tal og skrev ned en række tal mellem nul og en. (Okay, det er mine egne tilfældige tal fra at mashing tastaturet, men du får point.) Der er et uendeligt antal af disse rækker:

0.1435 ... matchet med 0
0.7683 ... matchet med 1
0.1982 ... matchet med 2
0.9837 ... matchet med 3

Og så videre. Du kan derefter oprette et nummer fra denne serie ved at tage det første ciffer i første linje, det andet ciffer i anden linje og så videre; for tallene ovenfor ville dette være 0,1668 ...

Nu er der muligvis et antal 0,687 ... et eller andet sted i denne stak af tal. Men hvis du tilføjer et til hvert af cifrene, bliver nummeret 0,7979 ..., og dette tal kan ikke være i stakken, da det pr. Definition er forskelligt fra et hvilket som helst tal i stakken med mindst et ciffer. Derfor er der stadig irrationelle tal tilbage efter at have forsøgt at matche dem op med normale hele tal. Derfor kan vi sige, at det uendelige antal irrationelle tal er større end det uendelige antal hele tal.

Hvis du synes, at det er skørt, skal du holde på din hat ...

7 Der er uendeligt mange niveauer af uendelighed

Cantor viste også, at ligesom antallet af uendelige heltal er på et helt andet niveau af uendelighed end antallet af irrationelle tal, er der også en type uendelighed, der er større end antallet af irrationelle tal, et niveau af uendelig over det, en anden over det, og så videre op gennem (du gættede det) uendelig. Endvidere summerer ethvert niveau af uendelighed, der tilføjes til et højere niveau af uendelighed automatisk til det højere niveau af uendelighed på samme måde som uendelig plus en svarer til uendelighed.

Det Reader's Digest version af hvorfor dette er tilfældet, er at du kan tage en uendelig række tal (for eksempel 0, 1, 2, 3 ...) og derefter lave en større uendelig serie ved at tage antallet af alle de forskellige mulige kombinationer af tal i den oprindelige serie. I matematik kaldes dette et strømsæt.Så for hele talet vil strømforsyningen omfatte ikke kun 1, 2, 3 ... men også enhver kombination af tal i den uendelige række tal, herunder 1 milliard og 1, 2, 13, 2 millioner ... osv. Når du har lavet dit første strømsæt, er der ingen grund til, at du ikke kan lave et strømforsyningssæt af strømforsyningen eller et strømforsyningssæt af et strømforsyningssæt af et strømforsyningssæt af et strømforsyningssæt ...

6 Alt dette drev i sidste ende Georg Cantor Insane

Som du kan forestille dig, kan du alt for meget på dit område gøre et tal på din virkelighedsfølelse, og det er netop, hvad der skete med dens opdagelsesmand. Cantor mente, at det "næste" niveau af uendelighed efter hele tallet var antallet af irrationelle tal; det eneste problem var, at han ikke kunne bevise det.

Dette kendte matematiske problem, der hedder kontinuumhypotesen (han til sidst lige begyndte at sige, at Gud åbenbarede for ham, at kontinuitetshypotesen var sand), i kombination med de onde angreb på hans arbejde, førte til sidst til et psykologisk sammenbrud, og han tilbragte resten af hans dage ind og ud af hospitaler, mens han forsøgte at bevise, at Francis Bacon skrev Shakespeare's skuespil.

5 Problemet, der drev Cantor sindssygt, er uopløseligt

Nogle mennesker har forsøgt at tilvejebringe et grundigt fundament for matematik ved at bruge en række aksiomer eller udtalelser, der angiveligt er så almindelige, at de kan stole på uden forudgående forklaring. (Eksempelvis kan man ikke ligne to. Hvorfor? Fordi!)

I 1960'erne viste matematikeren Paul Cohen, at kontinuitetshypotesen er uopløselig, hvis vi antager, at de mest almindeligt anvendte aksiomer er sande. Men til denne dag fortsætter matematisk arbejde under antagelsen om, at aksiomerne er sande, og at kontinuumhypotesen er falsk, samt omvendt antagelse om, at de konventionelle aksiomer er sande såvel som kontinuumhypotesen. Matematikere overvejer de forskellige antagelser om kontinuumhypotesen som tilhørende forskellige "matematiske universer", da vi ikke kan bevise, at den ene eller den anden er sand.

4 Symbolet for uendelighed, som Cantor vælger, er et hebraisk brev

Ligesom astronomer og biologer skal matematikere, der opdager noget nyt koncept eller en vigtig værdi, have mindst noget input til, hvad dets navn vil være. I betragtning af den slags magt, ville du tro, at der ville være flere Klingon-tegn i højt niveau math i dag, men nej. Som kreative som matematikere vil næppe nogen af ​​dem afvige fra de meget konventionelle græske symboler, hvorfor forskellige græske bogstaver kan betyde så mange forskellige ting afhængigt af hvilken gren af ​​matematik du bruger - vi har simpelthen så mange flere matematiske konstanter og begreber end græske bogstaver.

Mens hans religiøse baggrund stadig diskuteres af historikere, så Cantor, hvad han gjorde som en måde at henvende sig til den guddommelige gennem matematik, så han besluttede at de forskellige niveauer af uendelig ville blive symboliseret af det første bogstav i det hebraiske alfabet: aleph. Sættet af alle hele tal vil være aleph-naught eller aleph med et nul-abonnement. Den næste højeste uendelighed ville være aleph-one, som, som vi har nævnt, måske eller ikke er antallet af irrationelle tal.

3 Der er et niveau af uendelighed, hvor en uendelig plus ikke ligner én plus uendelig

Ud over alef-tallene kom Cantor også med omega tal. Det første omega nummer defineres som det mindste tal, der er større end antallet af hele tal, eller det første tal efter aleph-naught. At trække på Hilbers hotel eksempel igen, hvis antallet af værelser er aleph-ikke, så er det første omega nummer et shack udenfor hotellet. Det næste omega nummer efter det er simpelthen omega plus en. Det betyder imidlertid, at en plus omega er anderledes end omega plus en, da den ene i den tidligere ville blive absorberet af omega (da uendeligheden er formbar), mens den ene efter omega repræsenterer det næste trin.

Uheldigvis forstår forståelsen af ​​mere teknisk bevis herfor evnen til din ydmyge forfatters intellekt, men jeg læser det i en bog, så det må være sandt.

2 Infinity Minus Infinity er ikke lig null

Infinity minus infinity er udefineret på samme måde som at dividere med nul er udefineret.

For at give et eksempel på hvorfor dette er, da uendelig plus en er lig med uendelighed ([uendelighed + 1] = [uendelighed]), hvis vi trækker uendelighed fra begge sider tilbage, er vi tilbage med 1 = 0. Tilsvarende og for mange af de samme grunde, uendelighed delt af uendelighed er ikke en, men er også udefineret.

1 Dette har faktisk real-world videnskabelige applikationer

Som mange andre områder inden for matematik har det vist sig, at det, der startede som et rent teoretisk tankeeksperiment, har konsekvenser i hårdvidenskaben. For eksempel summe summemekanik ligninger summen til uendelighed; I praksis tilpasser fysikere ligningen til at gøre beregninger gennemførlige, men det er ikke klart, om det er berettiget, da vi ved om transfinit matematik.

I kosmologi, om universet er uendeligt stort, er rummet uendeligt deleligt, universet vil ekspandere for evigt, eller om der er uendelige universer, er alle åbne spørgsmål, der trækker på uendelig logik. Nogle forskere har endda fundet anvendelse af Hilberts hotelparadox i både kvant og klassisk optik.